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KI storniert?

Es stellt sich heraus, dass die Entwicklung von Computer-Lernalgorithmen auf ein Hindernis gestoßen ist. Dieses Hindernis ist die Mengenlehre, die aus fundamentalen Gründen nicht gelöst werden kann. 

Amir Iegudajov und seine Kollegen aus der Universität Tel Aviv fanden heraus, dass der Algorithmus des maschinellen Lernens auf ein grundlegendes mathematisches Paradoxon gestoßen ist, das von Georg Cantor und Kurt Goedel, den großen Mathematikern der 19-20 Jahrhunderte, entdeckt wurde. Das Problem wurde in dem Artikel behandelt, der in Nature Machine Intelligence am 7. Januar veröffentlicht wurde.

 

Hintergrund: Berühmte Paradoxien des 20. Jahrhunderts 

Der beste Weg, das vom Mathematiker Bertrand Russell entdeckte Paradoxon zu verdeutlichen, ist das Problem mit zwei Katalogen. Die Problemsituation ist folgende. Alle Bücher in der Bibliothek müssen in einen der zwei Kataloge aufgenommen werden. Der erste Katalog ist für die Bücher mit Selbstreferenz gedacht. Der zweite Katalog ist für die Bücher ohne Selbstreferenz gedacht. Da die Katalogen selbst die Bücher sind, müssen sie ebenfalls katalogisiert werden. Beim ersten Katalog können Sie entweder eine Selbstreferenz dazu hinzufügen oder ihn unverändert lassen. So oder so, wird die Bedingung des Problems erfüllt. Der zweite Katalog gehört aber zu keinem Katalog und Sie können ihn nicht unkatalogisiert lassen. So oder so, wird die Bedingung verletzt.

Kurt Goedel dachte über Russells Paradoxon nach und erfand seinen berühmten „Unvollständigkeitssatz“. Nehmen wir ein System von mathematischen Axiomen und listen wir alle möglichen mathematischen Aussagen auf, die sich aus den Axiomen ergeben. (Es ist so etwas wie ein Bibliothekskatalog). Es wird immer eine wahre mathematische Aussage geben, die nicht auf die Liste gehört, genau wie der zweite Katalog im oben erwähnten Beispiel. Daher ist jedes System, auch ein unendliches, immer unvollständig. Es wird immer eine wahre Aussage geben, die nicht aus dem Axiomsystem folgt. Mathematiker nennen solche Aussagen „unentscheidbar“.  Selbst wenn Sie eine so unentscheidbare Aussage als Axiom kategorisieren und in die Liste aufnehmen, wird das neue System immer noch unvollständig sein, denn hier wird es eine unvertretbare und unwiderlegbare Aussage dafür geben.

Ein Beispiel von Goedel unentscheidbare Aussage ist die Kontinuumshypothese von Georg Cantor. Beim Vergleich unendlicher Zahlenmengen entdeckte der deutsche Mathematiker, dass sie sich in der „Macht“ unterscheiden.  So sind beispielsweise die Mengen von natürlichen, rationalen und reellen Zahlen unendlich. Während Sie jedoch natürliche und rationale Zahlen vergleichen können (weil diese Mengen von gleicher Stärke sind), können Sie das Gleiche mit reellen Zahlen nicht tun, da sie „dichter“ gepackt sind.

Cantor stellte die folgende Frage: Gibt es die Mengen, die stärker als eine Menge von natürlichen Zahlen, aber weniger stark als eine Menge von reellen Zahlen sind? Leider konnte Cantor die Antwort auf seine Frage nicht finden. Allerdings bewies Goedel 1940, dass dies eigentlich ein Beispiel für eine unentscheidbare Aussage in der Mengenlehre ist. Man kann sagen, dass es so etwas wie Mengen von Zwischenkraft nicht gibt, und diese Aussage wird ein Teil eines einheitlichen mathematischen Systems. Gleichzeitig kann man genau das Gegenteil sagen, und das wird auch ein einheitliches System von Aussagen sein, obwohl es sich auch vom ersten System unterscheiden wird.

Der englische Mathematiker Alan Turing entwickelte Idee von Goedel, indem er sie auf Rechenalgorithmen anwandte. Er bewies, dass die Liste der „alle möglichen Algorithmen, die das Problem lösen“, an einem Algorithmus mangelt, der bestimmen würde, ob das Problem durch einen zufälligen Algorithmus gelöst werden kann. Auf Grund dieser Entdeckung stellte der britische Mathematiker Roger Penrose eine fundierte Hypothese auf, wonach die menschliche Argumentation nicht durch Algorithmen imitiert werden kann. Daher ist es unmöglich, die künstliche Intelligenz im engeren Sinne des Wortes zu schaffen, da einige der vom menschlichen Gehirn gelösten Probleme die unentschlossenen Algorithmen von Turing sein könnten.

Paradoxon des maschinellen Lernens

 

Im 20. Jahrhundert schien es, dass unentscheidbare Aussagen von Goedel ziemlich abstrakt waren und nichts mit angewandten Problemen zu tun hatten. Doch vor einigen Jahren gelang es einer Gruppe von theoretischen Physikern unter der Leitung von Toby Cubitt zu beweisen, dass Unbestimmbarkeit von Goedel auch im Quantenlückeproblem vorhanden ist, wo es theoretisch unmöglich ist, festzustellen, ob eine große Metallplatte supraleitende Eigenschaften hat.

Die Autoren des Artikels waren an der Erforschung des maschinellen Lernens beteiligt, das noch anwendbareres Gebiet ist. Unter Verwendung endlicher Datensätze lernt ein Algorithmus, wie man beispielsweise Kätzchenbilder erkennt. Das Lernziel gilt als erreicht, wenn der Algorithmus lernt, Kätzchenbilder in unendlichen Datensätzen unverwechselbar zu finden.

Iegudajov und seine Kollegen untersuchten den Zusammenhang zwischen Lernen und Datenkompression. Sie fanden heraus, dass die Kompression von Informationen eng mit der Kontinuumshypothese von Cantor verbunden ist (die, wie bereits erwähnt, mathematisch unentscheidbar ist). Es gibt unendlich viele Möglichkeiten, einen kleineren aus einem unendlich großen Datensatz auszuwählen. Die „Kraft“ eines so unendlichen Datensatzes war jedoch unbekannt. Iegudajov und die anderen haben gezeigt, dass die „Kraft“ unentscheidbar war. Das heißt, wenn wir davon ausgehen, dass Theorie von Cantor wahr ist, wird es immer einen kleinen Satz von Lerndaten geben, mit denen der Algorithmus lernen wird, wie man in eine beliebig große Probe aus Vorhersagen über Kätzchen-Finden macht. Wenn wir jedoch die Existenz von Datensätzen mit mittlerer Kraft anerkennen, gäbe es keine Datenprobe, die den Erfolg garantieren könnte.

Nach Ansicht der Autoren ist das erkannte Paradoxon äußerst wichtig für das Verständnis der Prinzipien der Datenkompression, die das maschinelle Lernen zusammenfassen. Gleichzeitig lässt seine praktische Relevanz Zweifel aufkommen, denn unendliche Datensätze sind eine mathematische Abstraktion. Dennoch helfen die Studien, die die grundlegenden Grenzen des algorithmischen Denkens skizzieren, die Perspektiven von KI-Systemen einzuschätzen und das Phänomen der menschlichen Intelligenz weiter zu erforschen.